Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Schritt 4

Sei $u = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ heraus.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Ordne Terme um.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec^{2} (t)$ heraus.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \int \sec (t) d t$

Schritt 6

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Schritt 8.2

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$