Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{4}} 2 x^{2} - 7$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{4}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{1}{4}} 2 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{4}} 7$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{1}{4}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{4}} 7$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to \frac{1}{4}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{4}} 7$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{4}$ annähert.

$2 {(lim_{x \to \frac{1}{4}} x)}^{2} - 1 \cdot 7$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{4}$ für $x$ .

$2 {(\frac{1}{4})}^{2} - 1 \cdot 7$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{4^{2}} - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (8)} - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} - 1 \cdot 7$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{8} - 7$

Schritt 3.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - 7 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 7 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$\frac{1 - 56}{8}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $56$ von $1$ .

$\frac{- 55}{8}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{55}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{55}{8}$

Dezimalform:

$- 6.875$