Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Schritt 2

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 2.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$u_{lower} = π$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{upper} = π t$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Schritt 8

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $π t$ und $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2

Da die Funktion ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 9.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2.2

Schreibe ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{π t}$ um.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2.3

Da $t$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.3.1

Berechne den Grenzwert von $2 π^{\frac{1}{2}}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.3.2

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.3.1

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{π}$

Schritt 9.3.3.2

Unendlich geteilt durch etwas, das endlich oder nicht-Null ist, ist Unendlich.

$\infty$