Analysis Beispiele

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich

t

$t$ an

\infty

$\infty$ annähert.

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Schritt 2

Sei

u = π x

$u = π x$ . Dann ist

d u = π d x

$d u = π d x$ , folglich

\frac{1}{π} d u = d x

$\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 2.1

Es sei

u = π x

$u = π x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere

π x

$π x$ .

\frac{d}{d x} [π x]

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 2.1.2

π

$π$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

π x

$π x$ nach

x

$x$ gleich

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$ .

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

π \cdot 1

$π \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere

π

$π$ mit

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für

x

$x$ in

u = π x

$u = π x$ ein.

u_{lower} = π \cdot 1

$u_{lower} = π \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere

π

$π$ mit

1

$1$ .

u_{lower} = π

$u_{lower} = π$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für

x

$x$ in

u = π x

$u = π x$ ein.

u_{upper} = π t

$u_{upper} = π t$

Schritt 2.5

Die für

u_{lower}

$u_{lower}$ und

u_{upper}

$u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

u_{lower} = π

$u_{lower} = π$

u_{upper} = π t

$u_{upper} = π t$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von

u

$u$ ,

d u

$d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Schritt 3

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{u}}

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ .

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Schritt 4

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ als

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit

- 1

$- 1$ .

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

$u^{- \frac{1}{2}}$ nach

$u$ gleich

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Schritt 7

Kombiniere

$\frac{1}{π}$ und

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Schritt 8

Berechne

$2 u^{\frac{1}{2}}$ bei

$π t$ und

$π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$t$ sich an

$\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$t$ sich an

$\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2

Da die Funktion

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ gegen

$\infty$ geht, geht die positive Konstante

$2$ mal der Funktion ebenfalls gegen

$\infty$ .

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Schritt 9.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen

$2$ entfernt.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2.2

Schreibe

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ als

$\sqrt{π t}$ um.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.2.3

$t$ für Wurzeln gegen

$\infty$ geht, erreicht der Wert

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.3.1

Berechne den Grenzwert von

$2 π^{\frac{1}{2}}$ , welcher konstant ist, wenn

$t$ sich

$\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Schritt 9.3.2

Berechne den Grenzwert von

$π$ , welcher konstant ist, wenn

$t$ sich

$\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.3.1

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{π}$

Schritt 9.3.3.2

Unendlich geteilt durch etwas, das endlich oder nicht-Null ist, ist Unendlich.

$\infty$