Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Ordne Terme um.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Schritt 1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Schritt 1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Schritt 3.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 3.2.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ ist ungefähr $3.7320508$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Schritt 3.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Schritt 3.3.3

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Dezimalform:

$1.31695789 \dots$