Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{9} (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{8} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{8} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (4)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (4)}$ als Potenz um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = \sin (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} {(1 - {u_{1}}^{2})}^{4} {u_{1}}^{5} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $2 u_{1}$ von $0$ .

$- 2 u_{1}$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 5.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe ${\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4}$ als ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ um.

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u_{2} + 1}$ als ${(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {({(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 6.3

Kombiniere ${u_{2}}^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{{u_{2}}^{4}}{2}) d u_{2}$

Schritt 6.4

Kombiniere ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ und $\frac{{u_{2}}^{4}}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 9

Multipliziere ${(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}$ aus.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ als $(- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1)$ um.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2} + 1) + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{4} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.8

Bewege $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.9

Bewege $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.11

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.12

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.13

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.15

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2 + 4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.17

Addiere $2$ und $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.19

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.20

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{1 + 4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.22

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.24

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.25

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{1 + 4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.27

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.28

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.29

Mutltipliziere ${u_{2}}^{4}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 9.30

Subtrahiere ${u_{2}}^{5}$ von $- {u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{5} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{2} (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{6}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{5}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und ${u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und ${u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}$ und $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Schritt 16.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Schritt 17

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 17.1

Berechne $\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5}$ bei $0$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{7}}{7} + \frac{0^{5}}{5}) - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Schritt 17.2

Berechne $\frac{{u_{2}}^{6}}{6}$ bei $0$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{7}}{7} + \frac{0^{5}}{5}) - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3

Vereinfache.

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Schritt 17.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{7} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $7$ .

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Schritt 17.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\frac{7 (0)}{7} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 17.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 (0)}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + 0 - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} + \frac{1}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.8

Um $\frac{1}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.9

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{7 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.10.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{7}{5 \cdot 7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.10.4

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{7}{35}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{5 + 7}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.12

Addiere $5$ und $7$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{12}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.13

Subtrahiere $\frac{12}{35}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{0}{6} - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 17.3.15.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 (0)}{6} - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.15.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (0 - \frac{1^{6}}{6}))$

Schritt 17.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (0 - \frac{1}{6}))$

Schritt 17.3.17

Subtrahiere $\frac{1}{6}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (- \frac{1}{6}))$

Schritt 17.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + 2 (\frac{1}{6}))$

Schritt 17.3.19

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2}{6})$

Schritt 17.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 17.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 (1)}{6})$

Schritt 17.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3})$

Schritt 17.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3})$

Schritt 17.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{1}{3})$

Schritt 17.3.21

Um $- \frac{12}{35}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 17.3.22

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{35}{35}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Schritt 17.3.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $105$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.3.23.1

Mutltipliziere $\frac{12}{35}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{35 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Schritt 17.3.23.2

Mutltipliziere $35$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Schritt 17.3.23.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{35}{35}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{35}{3 \cdot 35})$

Schritt 17.3.23.4

Mutltipliziere $3$ mit $35$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{35}{105})$

Schritt 17.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 12 \cdot 3 + 35}{105}$

Schritt 17.3.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.3.25.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 36 + 35}{105}$

Schritt 17.3.25.2

Addiere $- 36$ und $35$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{105}$

Schritt 17.3.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{105})$

Schritt 17.3.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{105}$

Schritt 17.3.28

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{105}$

Schritt 17.3.29

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{105}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 105}$

Schritt 17.3.30

Mutltipliziere $2$ mit $105$ .

$\frac{1}{210}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{210}$

Dezimalform:

$0.0\overline{047619}$