Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Schritt 1.1.3.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Schritt 1.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Schritt 1.1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{- 3 + 7} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Addiere $- 3$ und $7$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x + 7} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 1.3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.13

Mutltipliziere $\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.14

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + 7}$ um.

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 \sqrt{x + 7})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 3} 4 x \sqrt{x + 7}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 3} x \sqrt{x + 7}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 12 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

Schritt 4.2

Addiere $- 3$ und $7$ .

$- 12 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 12 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 12 \cdot 2$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$- 24$