Analysis Beispiele

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \frac{x^{2}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Schritt 2.6

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.3

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7.4.2.4

Dividiere $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ durch $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Schritt 2.9.2

Stelle die Faktoren von $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ um.

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$