Analysis Beispiele

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $y^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $2$ annähert.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $y$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ und $2 + 4$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2^{3}$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 \cdot 2$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ heraus.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2.4

Addiere $16$ und $8$ .

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.4

Dividiere $24$ durch $3$ .

$8^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 10.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 10.7.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1}$

Schritt 10.8

Berechne den Exponenten.

$2$