Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[x]{3}}{9}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $\frac{1}{9}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{3}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[x]{3}$ als $3^{\frac{1}{x}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} 3^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{9} \cdot 3^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot 3^{0}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 1$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{9}$

Dezimalform:

$0.\overline{1}$