Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\cos (\frac{x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ und $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 5.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 5.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 5.6.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.6.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Schritt 5.6.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π - π$

Schritt 5.6.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 π$

Schritt 5.7

Die Lösung der Gleichung $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Schritt 8

$x = π$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Schritt 9.2.2

Addiere $3$ und $4$ .

$f (π) = 7$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3 π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Schritt 11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3}{4}$

Schritt 11.3

Multipliziere $- - \frac{3}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 12

$x = 3 π$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 3 π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 3 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3 π$ .

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Schritt 13.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Schritt 13.2.1.3

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Schritt 13.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f (3 π) = 1$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ ist ein lokales Maximum

$(3 π, 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15