Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - 2 \sin (x) d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - 2 \int \sin (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \cos (x) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \cos (x)) + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \cos (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + 2 \cos (x) + C$