Analysis Beispiele

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Schritt 1

Sei $u = 4 - y^{3}$ . Dann ist $d u = - 3 y^{2} d y$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 - y^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $0$ .

$- 3 y^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $u^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $15$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$