Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7}{x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 13

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.1.4

Addiere $4 + 0 + 0$ und $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.1.5

Addiere $4 + 0$ und $0$ .

$\frac{4 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.1.6

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 - 0}$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 + 0}$

Schritt 14.2.4

Addiere $0 + 0 - 2$ und $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2}$

Schritt 14.2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{4}{0 - 2}$

Schritt 14.2.6

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{4}{- 2}$

Schritt 14.3

Dividiere $4$ durch $- 2$ .

$- 2$