Analysis Beispiele

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 2 x y y' - y^{2}$ und $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 9 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $9 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y y'$ aus $9 y^{2} y'$ heraus.

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ heraus.

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ durch $y (- 2 x + 9 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ durch $y (- 2 x + 9 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x + 9 y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Schritt 5.4.3.2

Um $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (- 2 x + 9 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- 2 x + 9 y) y$ um.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.9

Schreibe $- (6 x^{2} - y^{2})$ als $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ um.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Schritt 5.4.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $9 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Schritt 5.4.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (- 9 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Schritt 5.4.3.13

Schreibe $- (2 x - 9 y)$ als $- 1 (2 x - 9 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Schritt 5.4.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Schritt 5.4.3.15

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$