Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Dann ist $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 3$ und $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} - 3 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} - 3 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Schritt 1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $e^{u}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Dezimalform:

$5.78908503 \dots$

Schritt 8