Analysis Beispiele

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Schritt 1

Schreibe $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ als Funktion.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 5

Sei $u = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 5.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Schritt 6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 9

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$6 (- \cot (u)) + C$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$