Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 3 x^{3}}{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 3} x^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{4} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{4} - 3 \cdot 3^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{81 - 3 \cdot 3^{3}}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{81 - 3 \cdot 27}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$\frac{81 - 81}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{9 - 3^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 3 x^{3}}{9 - x^{2}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 3 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{0 - (2 x)}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{0 - 2 x}$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{- 2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 3} \frac{4 x^{3} - 9 x^{2}}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 4 x^{3} - 9 x^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 4 x^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 2.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 3^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2}}{lim_{x \to 3} x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 27 - 9 \cdot 3^{2}}{3}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{108 - 9 \cdot 3^{2}}{3}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{108 - 9 \cdot 9}{3}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{108 - 81}{3}$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $81$ von $108$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{27}{3}$

Schritt 4.3

Dividiere $27$ durch $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 4.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 9}{2}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{9}{2}$

Dezimalform:

$- 4.5$