Analysis Beispiele

$2 - 4 y^{2} + 3 x^{3} = 3 y - 5 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y - 5 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 8 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 8 y y' + 3 (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$0 - 8 y y' + 9 x^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $8 y y'$ von $0$ .

$- 8 y y' + 9 x^{2}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$9 x^{2} - 8 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y - 5 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y' + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 y' - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 y' - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y' - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y' - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y' - 5 (3 y^{2} y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$3 y' - 15 y^{2} y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 15 y^{2} y' + 3 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$9 x^{2} - 8 y y' = - 15 y^{2} y' + 3 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' = 9 x^{2} - 8 y y'$

Schritt 5.2

Addiere $8 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 15 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 15 y^{2}) + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + 8 y y' = 9 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $8 y y'$ heraus.

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y)$ heraus.

$y' (- 15 y^{2} + 3 + 8 y) = 9 x^{2}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ durch $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ durch $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) + 8 y + 3}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $8 y$ heraus.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) - (- 8 y) + 3}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 y^{2}) - (- 8 y)$ heraus.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) + 3}$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)$ heraus.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Schritt 5.5.3.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.6.1

Schreibe $- (15 y^{2} - 8 y - 3)$ als $- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)$ um.

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Schritt 5.5.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$