Analysis Beispiele

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ als $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $3 \cos^{3} (x)$ als $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Schritt 1.1.2

Stelle $3$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 \cos (x)}$ als ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $3 (\cos (x))$ an.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 7.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 7.3

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1

Bewege $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3$ .

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Schritt 15.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 15.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 16

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$