Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$