Analysis Beispiele

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $x$ gleich $1$ ist.

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 + \sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$

Schritt 2

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 9$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.2.3.2.4

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $55$ mit $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Schritt 2.2.3.3.2

Dividiere $1155$ durch $3$ .

$385$

Schritt 2.3

Berechne $2 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 110$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $110$ .

$- 110$

Schritt 2.4

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} 9$ .

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Schritt 2.4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(9) (10)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$90$

Schritt 2.5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$385 - 110 + 90$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $110$ von $385$ .

$275 + 90$

Schritt 2.6.2

Addiere $275$ und $90$ .

$365$

Schritt 3

Berechne $\sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $x$ .

$0^{2} - 2 \cdot 0 + 9$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $0$ mit $2$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 9$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 + 0 + 9$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 9$

Schritt 3.2.4

Addiere $0$ und $9$ .

$9$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$365 + 9$

Schritt 5

Addiere $365$ und $9$ .

$374$