Analysis Beispiele

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x (x^{2} + 6)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Schritt 3.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $x^{2} + 6$ mit $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Schritt 3.9.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Schritt 3.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.10.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Schritt 3.10.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$