Analysis Beispiele

$- x y - y^{3} = - x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y - y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (x y' + y) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (x y' + y) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y) - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- (x y' + y) - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x y') - y - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y = - 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- x) + y' (- 3 y^{2}) = - 1 + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ durch $- x - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ durch $- x - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1 + y}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (1) + y}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1) - 1 (- y)}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- x - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - (3 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x + 3 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe $- (x + 3 y^{2})$ als $- 1 (x + 3 y^{2})$ um.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.10

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$