Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 3$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \tan (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Schritt 2.1.2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Schritt 2.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 3 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$