Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.6.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.7.3.2

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.6.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.1.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 4.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 4.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 5.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ als ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 6.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{2}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2.2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 10.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 10.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 10.2.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2.4

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 1$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11