Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{4}{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ und ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ aus ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.3.2.4

Dividiere ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Schritt 2.2.4

Addiere $n$ und $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.7

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

$r = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $n$ in $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ ein.

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 4.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $- \frac{4}{3}$ mit $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Schritt 6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2$