Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 11.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 11.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 13.3

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 13.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.7.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.11

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.12

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.14.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.15

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.16

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 13.4.17.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.17.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.18

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.19

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 13.4.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 13.4.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 13.4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 13.4.23

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 13.4.24

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{- 2}{2}$

Schritt 13.4.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 13.4.25.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 13.4.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.25.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 13.4.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.4.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 1}{1}$

Schritt 13.4.25.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - 1$

Schritt 13.4.26

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 14