Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 1.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.1

Um $5 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 2.2

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ mit $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

Schritt 3.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

Schritt 3.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Schritt 8.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 \cdot 0 + 0$ und $2 + 5 \cdot 0$ .

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Schritt 10.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $5 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 5$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

Schritt 10.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Schritt 10.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 10.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$