Analysis Beispiele

$\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{5}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Dividiere $x^{5}$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{5} + 0 + x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Schritt 4.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Schritt 4.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Schritt 4.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 4.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + 0 - x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 4.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 4.11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Schritt 4.12

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{3} - x + \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 9

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 10.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$