Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 3 x - 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 3 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $6 x - 3$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 3$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 3$ .

$6 x - 3$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 3 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 3$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 3$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 3$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{1}{2}$ in $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.7

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4 \cdot 2} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 36 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 (- 18) (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 \cdot (- 18 (\frac{1}{2}))$

Schritt 3.1.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 18$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{1 - 3}{8}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 2}{8}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 (- 1)}{8}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 - \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Kombiniere $- 18$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 72 - 1}{4}$

Schritt 3.1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $- 72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 73}{4}$

Schritt 3.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{73}{4}$

Schritt 3.1.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{73}{4}$ .

$- \frac{73}{4}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ in $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4$ .

$f'' (0.4) = 6 (0.4) - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0.4$ .

$f'' (0.4) = 2.4 - 3$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von $2.4$ .

$f'' (0.4) = - 0.6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 5.3

Bei $0.4$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6$ .

$f'' (0.6) = 6 (0.6) - 3$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0.6$ .

$f'' (0.6) = 3.6 - 3$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von $3.6$ .

$f'' (0.6) = 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 6.3

Bei $0.6$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Schritt 8