Analysis Beispiele

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

Schritt 4.5.2

Addiere $1 + x^{- 2}$ und $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren von $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ um.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

Schritt 5.5

Multipliziere $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Schritt 5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Schritt 5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.1

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- \frac{2}{x}$ mit $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.6.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Schritt 5.6.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Schritt 5.6.1.7

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Schritt 5.6.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 5.6.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.7.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.6.1.7.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Schritt 5.6.1.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Schritt 5.6.1.7.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5.6.2

Addiere $- \frac{2}{x}$ und $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5.6.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$