Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\tan (x) \sec (x)$ ist, ist das Integral von $\tan (x) \sec (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\sec (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 7.1.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.3

Multipliziere $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.3.2.4

Dividiere $3 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$2.07519655 \dots$