Analysis Beispiele

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- x}$ heraus.

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ heraus.

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Dann ist $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 3.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 3.1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.1.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.1.4.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.1.4.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{x} - e^{- x}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ als $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ um.

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$