Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$4 x + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 x + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 x + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 x + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x + C - 2 \int x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$4 x - \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - - \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x + 1 \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$4 x + \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{1}{x^{2}} + C$