Analysis Beispiele

$y = 7^{x} + 1102$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7^{x} + 1102$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [1102]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $1102$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1102$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7^{x} \ln (7) + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $7^{x} \ln (7)$ und $0$ .

$f' (x) = 7^{x} \ln (7)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\ln (7)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7^{x} \ln (7)$ nach $x$ gleich $\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$\ln (7) (7^{x} \ln (7))$

Schritt 2.3

Potenziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln (7))$

Schritt 2.4

Potenziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7^{x} {\ln (7)}^{1 + 1}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 7^{x} \ln^{2} (7)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\ln^{2} (7)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7^{x} \ln^{2} (7)$ nach $x$ gleich $\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$\ln^{2} (7) (7^{x} \ln (7))$

Schritt 3.3

Multipliziere $\ln^{2} (7)$ mit $\ln (7)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $\ln (7)$ .

$\ln (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\ln (7)$ mit $\ln^{2} (7)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$\ln^{1} (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\ln (7)}^{1 + 2} \cdot 7^{x}$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$ um.

$f''' (x) = 7^{x} \ln^{3} (7)$