Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{7 x - 1}$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{7 x - 1}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{7 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{7 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{7 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{7 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{7 - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{1}{x}}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{7 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$3 \frac{1}{7 - 0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 \frac{1}{7 + 0}$

Schritt 5.1.2

Addiere $7$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{7})$

Schritt 5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{3}{7}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{7}$

Dezimalform:

$0.\overline{428571}$