Analysis Beispiele

${(x - 1)}^{2} \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) \sin (x)]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Schritt 3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) \sin (x)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) \sin (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + 0)$

Schritt 6.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Schritt 7.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) - 2 \sin (x)$