Analysis Beispiele

$f (t) = t^{- 5}$ ;, $(\frac{1}{2}, 32)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $t = \frac{1}{2}$ und $y = 32$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$- 5 t^{- 6}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{t^{6}}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{t^{6}}$ .

$\frac{- 5}{t^{6}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{t^{6}}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{{(\frac{1}{2})}^{6}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{5}{\frac{1^{6}}{2^{6}}}$

Schritt 1.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{5}{\frac{1}{2^{6}}}$

Schritt 1.4.1.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{5}{\frac{1}{64}}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (5 \cdot 64)$

Schritt 1.4.3

Multipliziere $- (5 \cdot 64)$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$- 1 \cdot 320$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $320$ .

$- 320$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 320$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{2}, 32)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (32) = - 320 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 32 = 0 + 0 - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 32 = - 320 x - 320 (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y - 32 = - 320 x - 320 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 320$ heraus.

$y - 32 = - 320 x + 2 (- 160) \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 32 = - 320 x + 2 \cdot - 160 \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 32 = - 320 x - 160 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 160$ mit $- 1$ .

$y - 32 = - 320 x + 160$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 320 x + 160 + 32$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $160$ und $32$ .

$y = - 320 x + 192$

Schritt 3