Analysis Beispiele

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Schritt 3

Da $2 k$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 k$ aus dem Integral.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $k$ und $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $k$ und $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.4

Addiere $\frac{k^{2}}{2}$ und $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.6

Kombiniere $k$ und $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.7

Potenziere $k$ mit $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.9

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.10.2

Dividiere $k^{3}$ durch $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 8.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 8.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 8.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Schritt 8.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Schritt 8.2.3.14

Addiere $\frac{k^{3}}{3}$ und $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Schritt 8.2.3.15

Um $k^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Schritt 8.2.3.16

Kombiniere $k^{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Schritt 8.2.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Schritt 8.2.3.18

Bringe $3$ auf die linke Seite von $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Schritt 8.2.3.19

Subtrahiere $k^{3}$ von $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$