Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 - 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 - 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$- 8 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Schritt 2.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $0$ und $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Schritt 7.2.9

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Schritt 7.2.11

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Schritt 7.2.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.13

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Schritt 7.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 7.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{8}$

Schritt 7.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.14.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$

Schritt 9