Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0^{2}$

Schritt 1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1^{2}$

Schritt 1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{lower} = - 0^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{upper} = - 1^{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $- 1$ und $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 11.4

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Schritt 11.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.15803013 \dots$

Schritt 13