Analysis Beispiele

$x \sqrt{3 - 2 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - 2 x}$ als ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - 2 x$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3

Bringe ${(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 19

Mutltipliziere ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 20

Um ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Multipliziere ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{1}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache ${(3 - 2 x)}^{1}$ .

$\frac{- x + 3 - 2 x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 3}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x + 3}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$