Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2 y}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.5

Bringe $y^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{3}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 y^{2}}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{6}{x}$ und $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$