Analysis Beispiele

$\int 2 x^{2} (2 x + 1) (x - 3) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int (x^{2} (2 x + 1)) (x - 3) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x - 3$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int {(u_{1} + 3)}^{2} (2 (u_{1} + 3) + 1) u_{1} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} + 3$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 3]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 3$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Schritt 3.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int {u_{2}}^{2} (2 u_{2} + 1) (u_{2} - 3) d u_{2}$

Schritt 4

Sei $u_{3} = u_{2} - 3$ . Dann ist $d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{3} = u_{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $u_{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 3]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{2} - 3$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Schritt 4.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$2 \int {(u_{3} + 3)}^{2} (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(u_{3} + 3)}^{2}$ als $(u_{3} + 3) (u_{3} + 3)$ um.

$2 \int (u_{3} + 3) (u_{3} + 3) (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Schritt 5.2