Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 9.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 9.3

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 9.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 9.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 9.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 11.2.3.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$