Analysis Beispiele

$x + \cos (x + y) = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \cos (x + y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Schritt 5.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Schritt 5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ um.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $\sin (x + y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ durch $- \sin (x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ durch $- \sin (x + y)$ .

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x + y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x + y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x + y)}$ nach $\csc (x + y)$ um.

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$