Analysis Beispiele

$2^{2 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 + 0)$

Schritt 2.6

Addiere $2$ und $0$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) \cdot 2$

Schritt 3

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2 x + 3} \ln (2)$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 2 x + 3} \ln (2)$

Schritt 5

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{2 x + 4} \ln (2)$