Analysis Beispiele

$1 + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $1 + \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 1 + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$x + C + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 10

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 16.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$