Analysis Beispiele

$\frac{d x}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d x}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (d)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (d)$ ermittelt wird.

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (d) = \int \frac{d x}{\sqrt{x}} d \cdot d$

Schritt 4

Da $\frac{x}{\sqrt{x}}$ konstant bezüglich $d$ ist, ziehe $\frac{x}{\sqrt{x}}$ aus dem Integral.

$\frac{x}{\sqrt{x}} \int d d \cdot d$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $d$ nach $d$ gleich $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ als $\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ um.

$\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.3

Bringe $x^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{3 - 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.4.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $d^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Schritt 6.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{d^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$ .

$F (d) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$