Analysis Beispiele

$f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x (x + 2) (x - 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (x + 2)$ und $g (x) = x - 2$ .

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Schritt 1.5.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.5.6.1

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Schritt 1.5.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Schritt 1.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 1.6.7.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Schritt 1.6.7.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Schritt 1.6.7.18

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 1.6.7.19

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Schritt 1.6.7.20

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Schritt 1.6.7.21

Addiere $- 3 x^{2}$ und $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x (x + 2) (x - 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Schritt 4.1.2

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Schritt 4.1.4

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5

Differenziere.

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Schritt 4.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Schritt 4.1.5.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.5.6.1

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Schritt 4.1.5.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 4.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Schritt 4.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Schritt 4.1.6.7.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Schritt 4.1.6.7.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Schritt 4.1.6.7.18

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 4.1.6.7.19

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Schritt 4.1.6.7.20

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Schritt 4.1.6.7.21

Addiere $- 3 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 4$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 4 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 4$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 4$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 4$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$3 (- 2) \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (2 \sqrt{3})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Schritt 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2

Multipliziere $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.3

Multipliziere $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 \sqrt{3})}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 11.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 11.2.5

Multipliziere $(- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Schritt 11.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Schritt 11.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.6.1.1

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 11.2.6.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3} \cdot 4}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.2

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 11.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3

Multipliziere $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.2.6.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $9$ .

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Schritt 11.2.6.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.6.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 11.2.6.1.7

Multipliziere $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 11.2.6.1.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 11.2.6.1.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{2 (4 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 11.2.6.1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 11.2.6.2

Um $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.5

Um $\frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.6.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Schritt 11.2.6.8

Um $- \frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.2.6.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.9.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 11.2.6.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Schritt 11.2.6.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 11.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 11.2.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 11.2.7.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Schritt 11.2.7.4

Addiere $- 8 \sqrt{3}$ und $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Schritt 11.2.7.5

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Schritt 11.2.7.6

Addiere $16 \sqrt{3}$ und $0$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 11.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$- 6 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 13.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$3 (- 2) \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 13.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (- 2 \sqrt{3})$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 \sqrt{3}$

Schritt 14

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.3

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 15.2.3.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 15.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Schritt 15.2.5

Multipliziere $(- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Schritt 15.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Schritt 15.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.6.1.1

Multipliziere $- \frac{4}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 15.2.6.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.2

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 15.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3

Multipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 15.2.6.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.6.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $9$ .

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Schritt 15.2.6.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.6.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Schritt 15.2.6.1.7

Multipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.6.1.7.1

Kombiniere $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ und $- 2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Schritt 15.2.6.1.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 15.2.6.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 15.2.6.2

Um $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.5

Um $\frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.6.6.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Schritt 15.2.6.8

Um $- \frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 15.2.6.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.6.9.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 15.2.6.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Schritt 15.2.6.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 15.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 15.2.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Schritt 15.2.7.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Schritt 15.2.7.4

Subtrahiere $24 \sqrt{3}$ von $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Schritt 15.2.7.5

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Schritt 15.2.7.6

Addiere $- 16 \sqrt{3}$ und $0$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 15.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 15.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$ .

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17